created: 31.3.2025 | updated: 8.4.2025 | [publishd](https://www.researchgate.net/publication/390597666_Systemische_Wahrscheinlichkeiten_als_theoretische_komplex-dynamische_Modulation): 8.4.2025 | [[Hinweise]] **Systemische Wahrscheinlichkeiten als theoretische komplex-dynamische Modulation** # Abstract Die Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie stellt ein theoretisch-mathematisches Modell zur Beschreibung von Wirkungszusammenhängen in rückgekoppelten, komplexen Systemen dar. Ausgehend von der Annahme, dass klassische Wahrscheinlichkeitsbegriffe nicht ausreichen, um Selbstreferenz, emergente Dynamik und Sinnbildung in lebenden, psychischen oder sozialen Systemen abzubilden, wird eine Erweiterung um einen imaginären Anteil vorgenommen. Dieser beschreibt systemisch wirksame Rückkopplungen, Reflexionsprozesse und Re-entry-Strukturen, die im klassischen Realsystem nicht erfasst werden können. Zentral ist der [[Interdependenzoperator]] $H$, der die Rückwirkung früherer Zustände auf aktuelle Wahrscheinlichkeiten moduliert. Mathematisch ergibt sich daraus eine komplexe Wahrscheinlichkeit mit realen und imaginären Anteilen, deren zeitlicher Verlauf eine spiralförmige Schleifenstruktur im komplexen Raum erzeugt. Diese Struktur bildet den Kern systemischer Selbstreferenz und ermöglicht eine rekursive Beschreibung von Sinn- und Strukturbildungsprozessen. Die Theorie integriert Konzepte der Quantenmechanik (unitäre Transformation), der Systemtheorie (Autopoiesis, Re-entry) und der Kybernetik (nicht-triviale Maschinen) zu einer konsistenten Formulierung systemischer Dynamik. Die Simulation der Gleichungen bestätigt die theoretischen Annahmen visuell und funktional. So entsteht ein neuartiger Ansatz zur Beschreibung komplexer Systeme, der mathematische Präzision, systemische Anschlussfähigkeit und erkenntnistheoretische Tiefe miteinander verbindet. # Einleitung In wissenschaftlichen, sozialen und psychologischen Systemen lassen sich Wirkzusammenhänge selten durch lineare, eindimensionale Modelle hinreichend beschreiben. Insbesondere in dynamischen Kontexten mit hoher Rückkopplungsdichte – etwa in lernenden, kommunizierenden oder selbstregulierenden Systemen – versagen klassische Wahrscheinlichkeitsmodelle in ihrer Erklärungskraft. Sie abstrahieren von der zeitlichen Verflechtung, ignorieren die Rolle systemischer Selbstbezüglichkeit und können emergente Effekte oder Sinnbildungsprozesse nicht abbilden. Die Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie wurde entwickelt, um diese Lücke zu schließen. Sie stellt die Frage, wie sich Wahrscheinlichkeit modellieren lässt, wenn Systeme nicht nur auf Eingaben reagieren, sondern sich durch rückwirkende Operationen, oszillierende Strukturen und rekursive Sinnproduktion konstituieren. Dabei werden Konzepte aus der Quantenmechanik, Systemtheorie und Kybernetik miteinander verbunden, um ein neues Verständnis von Wahrscheinlichkeit als systemischer Funktion zu entwickeln. Im Zentrum dieser Theorie steht die Annahme, dass Wirkung nicht ausschließlich als reelle Eintrittswahrscheinlichkeit modellierbar ist. Stattdessen erfordert die Beschreibung komplexer Systeme eine Erweiterung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs um einen imaginären Anteil, der für Rückwirkungen, Reflexion, Re-entry und emergente Sinnstrukturen verantwortlich ist. Die resultierende komplexe Wahrscheinlichkeit bildet somit nicht nur das Eintreten eines Zustands ab, sondern auch die Art und Weise, wie dieser Zustand systemintern verarbeitet, reflektiert und transformiert wird. (s. [[Wirkungswahrscheinlichkeit]]) Die folgende Ausarbeitung entwickelt die Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie in logisch deduktiver Weise. Ausgehend von der Analyse komplexer Wahrscheinlichkeiten und ihrer mathematischen Modulation wird der [[Interdependenzoperator]] $H$ eingeführt, der als strukturelle Größe der systeminternen Rückkopplung fungiert. In Verbindung mit der Zeitvariable $t$ entsteht daraus eine Schleifenstruktur, die nicht nur mathematisch notwendig, sondern auch systemtheoretisch beobachtbar ist. Die Idee ist, eine theoretische Grundlage zu schaffen, die sowohl formal präzise als auch epistemologisch anschlussfähig ist – und damit zur Analyse, Gestaltung und Simulation komplexer Wirkprozesse in lebenden, psychischen und sozialen Systemen beiträgt. # 1 Definition Die Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Modell zur Beschreibung komplexer Wirkzusammenhänge in dynamischen, rückgekoppelten Systemen. Sie wurde entwickelt, um insbesondere in lebenden, psychischen und sozialen Systemen die Entstehung, Verteilung und Wirkung von Ereignissen nicht nur linear-kausal, sondern rekursiv und interdependent zu erfassen. Im Zentrum der Theorie steht die Annahme, dass Wirkung nicht ausschließlich über klassische, reelle Wahrscheinlichkeiten beschreibbar ist. Stattdessen wird Wirkung als komplexe Wahrscheinlichkeit verstanden, die sowohl einen realen als auch einen systemisch wirksamen, imaginären Anteil enthält. Dieser imaginäre Anteil beschreibt nicht messbare, aber wirkmächtige Rückkopplungsprozesse, Unschärfen, Reflexionsdynamiken oder Sinnbildungsmechanismen. Die Theorie geht davon aus, dass Systeme nicht bloß Zustände einnehmen, sondern in der Zeit fortlaufend auf eigene Zustände rückwirken. Diese Rückwirkung – im Sinne von Re-entry oder rekursiver Selbstbezüglichkeit – erzeugt systemtypische Dynamiken, die in klassischen probabilistischen Modellen nicht abbildbar sind. Die systemische Wahrscheinlichkeit integriert diese Dynamiken in ein kohärentes Modell. Sie versteht sich als integrative Weiterentwicklung klassischer Wahrscheinlichkeitskonzepte unter Rückgriff auf systemtheoretische, quantenmechanische und kybernetische Prinzipien. Der Fokus liegt dabei auf der gleichzeitigen Berücksichtigung von Wirkung, Rückwirkung, Zeitstruktur und Systemgrenzen. Ziel ist es, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nicht nur als statistische Eintrittswahrscheinlichkeit, sondern als strukturabhängige, systemisch interpretierte Funktion zu erfassen. Damit ist die Theorie der systemischen Wahrscheinlichkeit an wissenschaftliche Fragestellungen in Bereichen wie Systemtheorie, Kommunikationsforschung, Psychologie, Pädagogik und Sozialwissenschaften anschlussfähig. Sie bietet eine theoretische Grundlage für die Analyse von Sinnbildungsprozessen, emergenten Dynamiken und stabilen wie instabilen Rückkopplungsschleifen in komplexen Systemgefügen. # 2 Herleitung Die Theorie der systemischen Wahrscheinlichkeit ist nicht durch klassische Modellbildung entstanden, sondern durch einen transdisziplinären, logisch schrittweisen Denkprozess, der mathematische, physikalische und systemtheoretische Konzepte miteinander verknüpft. Ausgangspunkt war die Beobachtung, dass in dynamisch rückgekoppelten Systemen Wirkungen nicht eindeutig auf ein einzelnes auslösendes Ereignis zurückgeführt werden können. Statt linear-kausaler Abläufe treten zirkuläre Prozesse, zeitlich verzögerte Effekte, rekursive Strukturen und emergente Muster auf. Diese strukturelle Komplexität verlangt nach einem erweiterten Wahrscheinlichkeitsverständnis, das nicht nur reelle Werte im Sinne klassischer Statistik berücksichtigt, sondern auch systemimmanente Rückwirkungen, nicht-lineare Oszillationen und kontextabhängige Sinnbildungsdynamiken mathematisch abbildet. Die Herleitung der Theorie basiert auf der Annahme, dass Wahrscheinlichkeiten in solchen Systemen eine komplexe Struktur aufweisen, die durch eine reelle und eine imaginäre Komponente ausgedrückt werden kann. Die Kombination dieser beiden Komponenten erlaubt es, sowohl beobachtbare Wirkstärken als auch potenzielle Rückkopplungseffekte mathematisch zu integrieren. Die nachfolgenden Abschnitte rekonstruieren den konzeptionellen und mathematischen Weg zu dieser Theorie. zunächst aus historischer Perspektive, dann durch den theoretischen Rahmen und schließlich über die formale Modellbildung. Alle Argumentationsschritte erfolgen logisch begründet, mit Bezug auf etablierte Konzepte aus Quantenmechanik, Funktionalanalysis, Systemtheorie und Kommunikationstheorie. ## 2.1 Historische Perspektive Die systemische Wahrscheinlichkeitstheorie entstand aus einer interdisziplinären Reflexion heraus, die im Grenzbereich von Bildungswissenschaft, Systemtheorie, Notfallmedizin und Mathematik verankert ist. Ausgangspunkt war die scheinbar beiläufige Frage eines neunjährigen Kindes nach einem „Wörterbuch für Mathematik“, die zur spontanen Auseinandersetzung mit der Struktur komplexer Zahlen führte. In diesem Moment wurde ein initiales Denkfenster geöffnet, das eine Reihe tiefgreifender Fragen über die Darstellung von Wahrscheinlichkeit, Wirkung und Rückkopplung aufwarf (OpenAI & Hanisch, 2025). Im Anschluss entwickelte sich ein systematischer Dialog zwischen dem Autor (Hanisch) und einer generativen KI auf Grundlage eines GPT-4-Modells, in dem klassische mathematische Strukturen – insbesondere die komplexe Zahl, der Begriff der Imagination und die unitäre Zeitentwicklung aus der Quantenmechanik – systemtheoretisch neu kontextualisiert wurden. Die dabei formulierte Grundannahme lautete. In rekursiv organisierten Systemen lässt sich Wirkung nicht vollständig durch reelle Wahrscheinlichkeiten im Sinne der klassischen Statistik abbilden. Vielmehr entstehen dynamische Prozesse, deren rückwirkende, reflexive und emergente Komponenten nur durch eine Erweiterung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs – hin zu einer komplexen Wahrscheinlichkeit – modelliert werden können. Die konzeptionelle Nähe zur Quantenmechanik liegt nicht in einer physikalischen Analogie, sondern in der strukturellen Isomorphie der Form. Auch in lebenden, psychischen und sozialen Systemen entfalten sich Zustände, deren Entwicklung nur unter Einbeziehung von Zeit, Rekursion und systeminterner Kommunikation nachvollzogen werden kann. Der Begriff der systemischen Wahrscheinlichkeit erlaubt es, diese Struktur mathematisch zu fassen und gleichzeitig systemtheoretisch zu interpretieren. Der Autor überführte die einzelnen Beobachtungen, Ableitungen und Simulationen in eine kohärente theoretische Struktur. Der GPT-gestützte Dialog diente dabei als Reflexions- und Katalysatorinstrument, nicht als Quelle unabhängiger Erkenntnisse. Die Theorie wurde so entwickelt, dass sie sowohl an die funktionalanalytische Tradition der Operatorentheorie als auch an systemtheoretische Konzepte wie Re-entry (Luhmann, 1984) und Autopoiesis (Maturana & Varela, 1987) anschlussfähig bleibt. ## 2.2 Theoretischer Rahmen Die Theorie der systemischen Wahrscheinlichkeit basiert auf der Grundannahme, dass [[Wirkungswahrscheinlichkeit]] in rekursiven Systemen nicht ausschließlich durch reelle, eindimensionale Wahrscheinlichkeitswerte beschrieben werden kann. Stattdessen verlangt die Modellierung systemischer Prozesse nach einer komplexen Struktur, die sowohl lineare als auch zirkuläre, sowohl vorwärtsgerichtete als auch rückwirkende Dynamiken mathematisch integriert. Zentral ist die Unterscheidung zwischen einer beobachtbaren, reellen Komponente und einer systemisch wirksamen, imaginären Komponente der [[Wirkungswahrscheinlichkeit]]. Die reelle Komponente beschreibt den prognostizierbaren Effekt eines Ereignisses. Die imaginäre Komponente steht für Rückwirkungen, systeminterne Resonanzen, reflexive Verschiebungen und Re-entry-Prozesse, die innerhalb des betrachteten Systems emergieren. Der theoretische Rahmen verbindet systemtheoretische Konzepte (z. B. Re-entry bei Luhmann) mit formalen Strukturen aus der Quantenmechanik und Operatorentheorie. Rückkopplungsschleifen, Selbstreferenz und Sinnbildungsprozesse werden als oszillierende Bewegungen innerhalb eines komplexen Wahrscheinlichkeitsraumes modelliert. Zeit wird nicht als eindimensional-linear gedacht, sondern als Träger rekursiver Transformationen. Ein zentrales Konzept bildet der Re-entry-Faktor, der als Maß für die Stärke vergangenheitsbezogener Rückkopplung fungiert. Mathematisch wird dieser durch eine Tangensfunktion beschrieben, welche oszillierende Reaktionen auf der imaginären Achse abbildet. Die Dynamik dieser Rückwirkung hängt sowohl vom zeitlichen Verlauf $t$ als auch von der internen Systemarchitektur ab. Zusätzlich wurde der [[Interdependenzoperator]] $H$ eingeführt, der als Maß für die interne Kopplungsstruktur eines Systems interpretiert wird. $H$ beschreibt die Tiefe, Dichte und Rückwirkungsfähigkeit des jeweiligen Systems – etwa im Sinne von [[Elementarkommunikation]], koordinierter Regelkreise oder struktureller Kopplung. Der [[Interdependenzoperator]] $H$ fungiert gleichzeitig als Generator der zeitlichen Entwicklung innerhalb der unitären Transformation. In der Systemischen Wahrscheinlichkeitstheorie beschreibt die zeitabhängige komplexe Wahrscheinlichkeit $P(t)$ nicht eine klassische Eintrittswahrscheinlichkeit, sondern eine systemisch modulierte Wirkungswahrscheinlichkeit. Sie gibt an, mit welcher Stärke ($|P(t)|$) und in welcher systemisch geprägten Richtung (Argument) ein Zustand auf das System wirkt. Die Theorie als solche soll als systemische Wahrscheinlichkeit betitel, die konkrete Ausdrucksform hingegen als [[Wirkungswahrscheinlichkeit]] ausgeprägt werden. Die Theorie geht davon aus, dass sowohl Re-entry (über den Tangens-basierten Rückkopplungsfaktor) als auch Systemstruktur (über den [[Interdependenzoperator]] $H$) gemeinsam bestimmen, wie sich [[Wirkungswahrscheinlichkeit]] entwickelt, verändert und rückbindet. Aus dieser Interaktion entsteht ein probabilistischer Raum, in dem Wirkung nicht als fester Wert, sondern als rekursive, systemisch erzeugte Relation erscheint. ## 2.3 Mathematische Modulation Die mathematische Grundlage der Theorie der systemischen Wahrscheinlichkeit basiert auf der Annahme, dass [[Wirkungswahrscheinlichkeit]] in rekursiven Systemen nicht allein durch reelle Zahlen beschrieben werden kann. Diese Überzeugung greift eine zentrale Idee aus der Quantenmechanik auf, in der Zustände grundsätzlich durch komplexwertige Wellenfunktionen modelliert werden (Dirac, 1958; Sakurai & Napolitano, 2017). In systemischen Kontexten erweitert sich dieser Gedanke zu der Annahme, dass Wirkung in lebenden, psychischen und sozialen Systemen ebenfalls eine komplexe Struktur aufweist – bestehend aus reeller Prognose und imaginärer Rückkopplung. Die komplexe Wahrscheinlichkeit $P(t)$ wird zu jedem Zeitpunkt $t$ durch einen reellen Anteil $P_{\text{real}}(t)$ und einen imaginären Anteil $P_{\text{imag}}(t)$ beschrieben. Diese Darstellung folgt der Definition der komplexen Zahlenebene als zweidimensionalem Vektorraum über $\mathbb{R}$ (Stein & Shakarchi, 2003). $ P(t) = P_{\text{real}}(t) + i \cdot P_{\text{imag}}(t) \tag{1} $ Der imaginäre Anteil $P_{\text{imag}}(t)$ wird dabei nicht willkürlich angenommen, sondern über eine systemimmanente Rückkopplungsfunktion konstruiert. Die zentrale Annahme besteht darin, dass systemische Rückwirkungen proportional zur realen Wahrscheinlichkeit verlaufen, jedoch moduliert durch einen zeitabhängigen Re-entry-Faktor $\beta$: $ P_{\text{imag}}(t) = \tan(\beta t) \cdot P_{\text{real}}(t) \tag{2} $ Die Tangensfunktion erfüllt dabei mehrere strukturelle Anforderungen. Sie ist kontinuierlich differenzierbar, zeigt asymptotisches Divergieren bei bestimmten Intervallen, und erlaubt oszillierende Rückwirkungen – eine Eigenschaft, die in biologischen und kognitiven Systemen empirisch gut dokumentiert ist (Varela et al., 1991). Durch Einsetzen von (2) in (1) ergibt sich die gekoppelte Wahrscheinlichkeitsgleichung: $ P(t) = P_{\text{real}}(t) + i \cdot \tan(\beta t) \cdot P_{\text{real}}(t) \tag{3} $ Diese Gleichung zeigt, dass die Rückkopplung stets eine Funktion der aktuellen Wirkung ist und sich mit wachsendem $t$ potenziert. In Systemen hoher Kopplungsdichte kann dies zu oszillatorischen Effekten führen, welche Phänomene wie Übersteuerung, Destabilisierung oder spontane Emergenz mathematisch plausibilisieren. Die zweite mathematische Struktur beschreibt die zeitliche Entwicklung von $P(t)$ als unitäre Transformation. Diese stammt aus der Schrödinger-Gleichung der Quantenmechanik und gewährleistet die Normerhaltung innerhalb komplexwertiger Dynamiken (Reed & Simon, 1975): $ P(t) = e^{-i H t} \cdot P(0) \tag{4} $ Dabei bezeichnet $P(0)$ den Anfangszustand, $t$ die Zeit, und der [[Interdependenzoperator]] $H$ die Kopplungsstruktur des Systems. Formal handelt es sich um eine unitäre Operatorfamilie $\{U(t)\}_{t \in \mathbb{R}}$, welche die Zeitentwicklung reversibel und normerhaltend beschreibt. Übertragen auf [[Wirkungswahrscheinlichkeit]] bedeutet dies. Die Gesamtwahrscheinlichkeit bleibt erhalten, auch wenn sich deren reelle und imaginäre Anteile im Verlauf verändern. Die Gleichungen (3) und (4) sind miteinander kombinierbar. Die erste beschreibt die systemische Struktur zu einem Zeitpunkt $t$, die zweite modelliert die Entwicklung des Wahrscheinlichkeitsraumes über die Zeit. Gemeinsam bilden sie die mathematische Grundlage der Theorie der systemischen Wahrscheinlichkeit und ermöglichen eine quantitative Beschreibung rekursiver Systeme mit Rückkopplungsdynamik. ## 2.4 Systemtheoretische Verortung Die zuvor eingeführten mathematischen Gleichungen beschreiben [[Wirkungswahrscheinlichkeit]] als komplexwertige Funktion der Zeit. Die Gleichung $ P(t) = P_{\text{real}}(t) + i \cdot \tan(\beta t) \cdot P_{\text{real}}(t) \tag{3} $ zeigt, dass der komplexe Anteil der Wahrscheinlichkeit – also die imaginäre Komponente – nicht frei gewählt wird, sondern direkt aus der realen Komponente abgeleitet ist. Die Kopplung erfolgt über die Funktion $\tan(\beta t)$, deren strukturelle Eigenschaften entscheidend für die Dynamik sind. Die Tangensfunktion ist eine periodische, unbeschränkte Funktion mit divergenten Stellen. Damit beschreibt sie eine Oszillation mit zunehmender Amplitude in spezifischen Zeitintervallen. Diese Eigenschaft hat zwei unmittelbare Konsequenzen: 1. **Die systemische Wahrscheinlichkeit ist nicht linear in der Zeit entwickelt**, sondern oszilliert mit wachsender oder abnehmender Rückwirkung. Die systeminterne Dynamik ist damit grundsätzlich nicht-linear, da sie sich nicht aus gleichförmigen Zuwächsen ergibt, sondern durch rhythmisch verstärkte oder abgeschwächte Phasen. 2. **Die imaginäre Komponente ist funktional vom reellen Anteil abhängig**, nicht additiv getrennt. Das bedeutet, dass jede reale Wirkung eine Rückwirkung erzeugt, die nicht von außen eingegeben wird, sondern aus dem System selbst hervorgeht. Damit folgt: - Die [[Wirkungswahrscheinlichkeit]] ist keine eindimensionale Aussage über ein Ereignis, sondern eine Struktur, die sich nur aus der Beziehung zwischen realem Zustand und systemimmanenter Rückführung ergibt. - Diese Beziehung ist zeitabhängig und weist eine eindeutig rekursive Charakteristik auf. Es ist nicht möglich, $P(t)$ zu bestimmen, ohne auf frühere oder gegenwärtige Zustände des Systems Bezug zu nehmen. Die Gleichung $ P(t) = e^{-i H t} \cdot P(0) \tag{4} $ zeigt zusätzlich, dass die Entwicklung des Systems nicht durch externe Eingriffe, sondern durch einen internen Operator $H$ gesteuert wird. $H$ fungiert als Transformator des Zustandsraums und beschreibt die innere Strukturkopplung des Systems. Diese Kopplung ist zeitinvariant – das bedeutet, sie verändert sich nicht unabhängig von der Systemzeit, sondern bestimmt, wie sich die Systemzeit auf die Wahrscheinlichkeitsstruktur auswirkt. Die Tatsache, dass $P(t)$ vollständig über $H$ und $P(0)$ bestimmt ist, hat eine weitere Konsequenz. Alle zukünftigen Zustände sind Transformationen eines Ausgangszustands in Abhängigkeit einer internen Struktur. Es gibt keine Möglichkeit, ohne Bezug auf $H$ oder $P(0)$ eine neue systemische Wahrscheinlichkeit zu erzeugen. Das führt zu drei zentralen Schlussfolgerungen: 1. **Rekursion ist notwendig und systemimmanent.** Sie ergibt sich nicht aus einer äußeren Schleife, sondern direkt aus der Funktionsweise der Gleichungen (3) und (4). $P(t)$ kann nicht existieren, ohne dass eine Wirkung aus einer vorherigen Wirkung abgeleitet wird. 2. **Der imaginäre Anteil ist kein Störfaktor, sondern eine mathematisch erforderliche Konsequenz.** Die Rückführung von $P_{\text{real}}(t)$ in sich selbst über $\tan(\beta t)$ erzeugt keine Instabilität, sondern eine Bedingung für Dynamik. Ohne diese Bedingung bliebe das System statisch. 3. **Die Struktur des Systems bestimmt seine Dynamik vollständig.** $H$ ist kein externer Einflussfaktor, sondern die formale Beschreibung einer internen Abhängigkeitsstruktur. Diese Abhängigkeit ist nicht veränderbar ohne Transformation des Systems selbst. Und weiter: Die mathematische Struktur erzwingt eine **zeitlich strukturierte Selbstreferenz**. Die sogenannte „systemische Schleife“ ist keine Metapher, sondern eine mathematisch begründete Eigenschaft komplexer Wahrscheinlichkeit im Zusammenhang mit interner Strukturkopplung. Der reelle Anteil erzeugt eine Wirkung; die Wirkung erzeugt durch das System selbst eine Rückwirkung; die Rückwirkung verändert die Wirkung. Diese Struktur ist stabil, solange $H$ und $\beta$ innerhalb spezifischer Grenzen bleiben. Damit ist die systemische Dynamik nicht beobachtbar als lineare Kausalität, sondern nur beschreibbar als rekursive, strukturgeleitete Transformation im komplexen Wahrscheinlichkeitsraum. ## 2.4 Systemtheoretische Verortung Die zuvor mathematisch hergeleitete Struktur komplexer Wahrscheinlichkeiten, insbesondere in ihrer zeitlichen Transformation durch den Operator $ P(t) = e^{-i H t} \cdot P(0) \tag{4} $ kann systemtheoretisch als Beschreibung einer dynamischen, interdependenten und rekursiven Struktur interpretiert werden. Im Sinne Luhmanns (1984) sind soziale Systeme nicht durch kausale Abfolgen, sondern durch Selbstreferenz und operative Geschlossenheit gekennzeichnet. Die Kommunikation ist dabei nicht Medium, sondern Element des Systems selbst. Die Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie greift diesen Grundsatz auf, indem sie Wirkung nicht als extern determinierte Reaktion, sondern als mathematisch strukturierte, rückbezügliche Wahrscheinlichkeitsdynamik beschreibt. Die Gleichung $ P(t) = P_{\text{real}}(t) + i \cdot \tan(\beta t) \cdot P_{\text{real}}(t) \tag{3} $ zeigt, dass jede reale Wirkung ($P_{\text{real}}$) zwingend mit einem systemintern erzeugten, nicht direkt beobachtbaren Anteil ($i \cdot \tan(\beta t)$) verknüpft ist. Dieser imaginäre Anteil ist keine Störung oder Unschärfe, sondern eine strukturelle Notwendigkeit des Systems. Die Wirkung eines Ereignisses kann nur vollständig beschrieben werden, wenn auch der Raum der möglichen Rückwirkungen berücksichtigt wird – also jener Teil, der nicht aus der linearen Fortschreibung des Reellen erklärbar ist, sondern aus der internen Struktur des Systems resultiert. Die Größe $H$, der [[Interdependenzoperator]], beschreibt die Intensität und Beschaffenheit dieser strukturellen Kopplung. Sie ist nicht additiv, sondern wirkt als Transformator des gesamten Wahrscheinlichkeitsraums. In luhmannscher Terminologie könnte $H$ als Maß für operative Geschlossenheit oder strukturelle Kopplungsdichte verstanden werden. Je stärker die Kopplung (großes $H$), desto intensiver die rekursive Verflechtung; je geringer (kleines $H$), desto linearer und starrer die Systemdynamik. Die Dynamik von $P(t)$ kann dabei als formal äquivalent zur rekursiven Kommunikation innerhalb sozialer Systeme gelesen werden. Die Zeitentwicklung des Systems ist nicht durch externe Anstöße gesteuert, sondern durch den internen Operator $H$, der wiederum in die Struktur des Systems selbst eingebettet ist. Das bedeutet. Das System „rechnet“ mit sich selbst, wobei jede aktuelle Konstellation aus dem Transformationsverlauf eines vorherigen Zustands hervorgeht – ein klassischer Rekursionsmechanismus, wie er in der Systemtheorie zentral ist. In dieser Perspektive wird Wirkung als rekursive Wahrscheinlichkeitsverschiebung verstanden, nicht als Wirkung im physikalischen Sinn. Die komplexe Struktur der Gleichungen bildet genau jene Schleifenstruktur ab, die auch in der Theorie autopoietischer Systeme beobachtbar ist. Insbesondere zeigt sich: - Der **reelle Anteil** beschreibt das, was beobachtbar oder prognostizierbar ist. - Der **imaginäre Anteil** beschreibt das, was aus der internen Struktur des Systems folgt, aber nicht direkt beobachtbar ist. - Die **zeitliche Transformation** beschreibt den Übergang von einem Zustand in einen anderen – nicht linear, sondern durch strukturelle Selbstreferenz. Die Gleichungen (3) und (4) bilden somit nicht nur Wahrscheinlichkeiten ab, sondern beschreiben einen systemimmanenten Prozess der Wirkungsbildung, in dem vergangene Zustände und interne Strukturkopplung untrennbar miteinander verbunden sind. Damit ist die Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie anschlussfähig an die Systemtheorie im Sinne Luhmanns und beschreibt nicht Verhalten, sondern Struktur; nicht Kausalität, sondern Differenz; nicht Ereignisse, sondern Transformationen von Unterscheidungen. Ihre Formalstruktur erlaubt eine Modellierung von Kommunikation, ohne diese auf Information, Bedeutung oder Intention zu reduzieren. ## 2.5 Beweis der systemischen Schleife Die zuvor hergeleiteten Gleichungen (3) und (4) beschreiben die zeitliche Entwicklung komplexer Wahrscheinlichkeiten innerhalb eines Systems, dessen interne Struktur durch den [[Interdependenzoperator]] $H$ formalisiert wird. Ziel dieses Abschnitts ist zu zeigen, dass die dadurch erzeugte Dynamik notwendigerweise eine zirkuläre Rückführung – eine Schleife – erzeugt, die systemintern nicht nur möglich, sondern unvermeidlich ist. ### 2.5.1 Ausgangspunkt. Die gekoppelte Wahrscheinlichkeitsfunktion Die Gleichung $ P(t) = P_{\text{real}}(t) + i \cdot \tan(\beta t) \cdot P_{\text{real}}(t) \tag{3} $ verknüpft den reellen Anteil der Wahrscheinlichkeit $P_{\text{real}}(t)$ mit einem imaginären Anteil, der über die Tangensfunktion der Zeit gewichtet wird. Der Faktor $\tan(\beta t)$ oszilliert und divergiert an bestimmten Stellen, was bedeutet, dass es Zeitpunkte gibt, an denen der imaginäre Anteil exponentiell wächst, während der reelle Anteil konstant bleibt oder sich sogar reduziert. Formal ergibt sich für den Imaginäranteil: $ P_{\text{imag}}(t) = \tan(\beta t) \cdot P_{\text{real}}(t) \tag{5} $ Diese Gleichung zeigt bereits, dass der imaginäre Anteil nicht frei ist, sondern direkt aus dem reellen abgeleitet wird. Die Richtung und Stärke des imaginären Anteils hängen von der momentanen Systemzeit $t$ sowie vom aktuellen Zustand $P_{\text{real}}(t)$ ab. ### 2.5.2 Mathematische Konsequenz. Rückführung Wird dieser imaginäre Anteil in die Ausgangsgleichung (3) rückübertragen, ergibt sich für jeden Zeitpunkt $t$: $ P(t) = P_{\text{real}}(t) + i \cdot P_{\text{imag}}(t) = P_{\text{real}}(t) + i \cdot \tan(\beta t) \cdot P_{\text{real}}(t) \tag{6} $ Diese Gleichung kann umgeformt werden zu: $ P(t) = P_{\text{real}}(t) \cdot (1 + i \cdot \tan(\beta t)) \tag{7} $ Die zentrale Erkenntnis daraus ist. Die Gesamtwahrscheinlichkeit $P(t)$ ist immer ein Vielfaches ihres eigenen reellen Anteils – skaliert um eine komplexe, zeitabhängige Größe. Diese Skalierung oszilliert und divergiert über die Zeit. Bei jeder neuen Zeitinstanz wirkt diese komplexe Skalierung auf den reellen Anteil zurück. Das bedeutet. Jede neue Wirkung enthält zwangsläufig die Codierung der vorherigen Wirkung in ihrer Skalierungsstruktur. Diese rekursive Selbstbezüglichkeit ist keine Interpretation, sondern eine mathematische Notwendigkeit. Die Schleife entsteht dadurch, dass die aktuelle Wirkung (im Komplexen) aus der vorherigen Wirkung (im Reellen) durch Transformation erzeugt wird, welche wiederum den neuen Reellen Anteil beeinflusst – ein geschlossener Regelkreis. ### 2.5.3 Zeitentwicklung durch den Interdependenzoperator Die zeitliche Entwicklung des Gesamtsystems ist zusätzlich durch die unitäre Transformation $ P(t) = e^{-i H t} \cdot P(0) \tag{4} $ gegeben. Der Ausdruck $e^{-i H t}$ ist ein unitärer Operator, der die Norm (den Betrag) der komplexen Wahrscheinlichkeit erhält. Damit bleibt die Gesamtstruktur stabil, auch wenn sich der reelle und imaginäre Anteil gegenseitig verschieben. Diese Stabilität ist entscheidend. Sie zeigt, dass das System nicht ins Chaos kippt, sondern sich innerhalb eines stabilen normierten Raumes selbst transformiert. Unitäre Operatoren haben die Eigenschaft: $ \lVert P(t) \rVert = \lVert P(0) \rVert \quad \forall t \in \mathbb{R} \tag{8} $ Folglich: - Die **Betragsstruktur** bleibt erhalten. - Die **internen Verhältnisse** der Re- und Imaginäranteile ändern sich laufend. - Die **Bewegung im Raum** ist eine Drehung – formal eine Rotation im komplexen Wahrscheinlichkeitsraum. Damit ist auch die Spiralenform, wie sie im dreidimensionalen Raum beobachtet wird (z. B. in den Visualisierungen), kein Zufallsprodukt, sondern die geometrische Darstellung dieser Rotation unter dem Einfluss des Operators $H$ über die Zeit. ### 2.5.4 Konsequenz: Zwingende Schleifenstruktur Die sogenannte systemische Schleife stellt keine bloße Metapher für Rückkopplung oder zyklische Prozesse dar, sondern ergibt sich aus der strengen mathematischen, funktionalen und systemtheoretischen Struktur der Systemischen Wahrscheinlichkeitstheorie. Ihre Existenz ist nicht kontingent oder kontextabhängig, sondern folgt mit zwingender Notwendigkeit aus der Kombination der komplexwertigen Beschreibung von [[Wirkungswahrscheinlichkeit]] und der Wirkung des Interdependenzoperators $H$ innerhalb der unitären Transformation. Formal entsteht die Schleifenstruktur durch die zyklische Bewegung im komplexen Zahlenraum, wie sie durch die Gleichung $ P(t) = e^{-i H t} \cdot P(0) \tag{4} $ definiert ist. Hier beschreibt $P(t)$ den zeitabhängigen Zustand der systemischen Wahrscheinlichkeit, $P(0)$ den Ausgangszustand und $e^{-i H t}$ eine unitäre Operatorfamilie, welche die zeitliche Entwicklung erzeugt. Diese Operatorstruktur bewirkt eine kontinuierliche Drehung des Wahrscheinlichkeitszustandes im komplexen Raum, wobei die Norm von $P(t)$ über die Zeit erhalten bleibt. Mathematisch manifestiert sich diese Schleifenbewegung als permanente Rotation um den Ursprung der komplexen Ebene. Der Realteil ($\operatorname{Re}(P)$) und der Imaginärteil ($\operatorname{Im}(P)$) des Wahrscheinlichkeitsvektors durchlaufen in einer harmonischen Weise zyklische Veränderungen, wobei sie sich gegenseitig bedingen und transformieren. Dieser Effekt ist nicht additiv oder linear, sondern exponentiell und oszillierend. Funktional bedeutet dies, dass der reelle Anteil der Wahrscheinlichkeit, der häufig als beobachtbares oder messbares Systemverhalten interpretiert wird, und der imaginäre Anteil, der als Potenzial-, Re-entry- oder Rückkopplungskomponente verstanden werden kann, in einem dynamischen Austausch stehen. Das System speichert vergangene Zustände nicht in klassischer Weise, sondern integriert sie in die aktuelle Wahrscheinlichkeitsverteilung. Diese Integration erfolgt jedoch nicht statisch, sondern als modulierte Rückführung innerhalb der aktuellen Systemzeit. Systemtheoretisch ergibt sich daraus eine rekursive Grundstruktur, in der frühere Zustände nicht nur als Hintergrundrauschen oder Parameter persistieren, sondern aktiv in die aktuelle Systembildung eingehen. Dies ist formal identisch mit dem Konzept des Re-entry, wie es z. B. in der Theorie selbstreferenzieller Systeme nach Luhmann beschrieben wurde. Allerdings erweitert die Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie diese Perspektive, indem sie zeigt, dass Re-entry nicht nur auf semantischer oder operativer Ebene, sondern auch auf mathematisch-funktionaler Ebene als Schleifenstruktur abgebildet werden kann. Zeitlich betrachtet führt diese Konstellation zu einem oszillierenden Verlauf, der nicht durch lineare Zeitentwicklung, sondern durch periodisch modulierte Zustandsänderung gekennzeichnet ist. Die Zeit selbst wirkt dabei nicht als externes Kontinuum, sondern ist in die systeminterne Dynamik eingebettet. Die Entwicklung erfolgt nicht durch äußere Taktung, sondern durch die Wechselwirkung zwischen $H$ und $P(t)$ – also zwischen struktureller Interdependenz und probabilistischer Systemverfassung. Die Systemzeit ist somit relational und rekursiv bestimmt. Logisch betrachtet ergibt sich die Schleife nicht als Folge spezifischer Modellannahmen oder empirischer Rückführung, sondern als strukturelle Notwendigkeit innerhalb des beschriebenen Gleichungssystems. Sowohl die unitäre Transformation (Gleichung 4) als auch die gekoppelte Wahrscheinlichkeitsform $ P(t) = P_{\text{real}}(t) + i \cdot \tan(\beta t) \cdot P_{\text{real}}(t) \tag{7} $ implizieren eine zyklische, nichtlineare Dynamik. In Gleichung (7) zeigt sich dies konkret durch den Re-entry-Faktor $\tan(\beta t)$, der als Funktion der Zeit eine modulierte Rückkopplung beschreibt. Der Imaginärteil der Wahrscheinlichkeit ist demnach kein Zusatz, sondern eine notwendige strukturelle Entsprechung des realen Anteils – und umgekehrt. Beide Teile bedingen einander in einer oszillierenden Schleifenbewegung. Die in Abbildung 1 dargestellten Verläufe visualisieren diese Struktur eindrücklich. Unabhängig vom gewählten Wert des Parameters $H$ ergibt sich stets eine rotierende Spiralstruktur in einem kathesischen Koordinatensystem. Dabei differenzieren sich die Schleifen je nach Höhe des $H$-Werts in ihrer Frequenz und Tiefe, was Rückschlüsse auf den Grad der systemischen Rekursivität erlaubt. Niedrige $H$-Werte führen zu flachen, weit gezogenen Schleifen, die mit deterministischer, maschinenartiger Steuerung vergleichbar sind. Mittlere $H$-Werte erzeugen harmonische Rekursionen, wie sie in partizipativen Diskursen beobachtbar sind. Hohe $H$-Werte hingegen resultieren in dichten, häufigen Schleifen mit starkem Rückkopplungscharakter – beispielsweise bei innerpsychischen Grübelschleifen oder sozialen Resonanzphänomenen. Die Schleife ist innerhalb der Systemischen Wahrscheinlichkeitstheorie keine Folge spezifischer Bedingungen, sondern stellt eine notwendige Form systemischer Zeitstruktur dar. Sie ist Ergebnis der mathematischen Formulierung, Ausdruck funktionaler Rückbindung, Erscheinungsform systemischer Selbstreferenz und Indikator einer relationalen, nicht-linearen Zeitlogik. Die systemische Schleife ist nicht Modell, sondern konstitutive Eigenschaft rekursiv organisierter Systeme. ## 2.6 Ergänzende Perspektive. Simulation als Erkenntnisweg Die Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie wurde bisher formal-mathematisch hergeleitet und systemtheoretisch begründet. Ihre Kernaussage – dass sich systemische Wirkungswahrscheinlichkeiten als komplexe Zahlen modellieren lassen, deren Entwicklung über den Interdependenzoperator $H$ beschrieben wird – bildet das theoretische Fundament. Doch neben der axiomatischen Struktur ergibt sich eine zweite, erkenntnislogisch ebenso relevante Ebene. die der Simulation. Simulationen erlauben nicht nur eine Visualisierung, sondern erschließen eine genuine Einsicht in das Verhalten komplexer Systeme. Der folgende Abschnitt führt diese Perspektive aus und zeigt, wie die Theorie in Form dynamischer Schleifenstrukturen beobachtbar und intersubjektiv nachvollziehbar wird. ### 2.6.1 Visualisierung als zweite Form des Beweises Die in den [Systemischen Schleifen](https://public.jochen-hanisch.de/plot/systemische-schleifen.html) dargestellten dreidimensionalen Visualisierungen zeigen die Entwicklung der komplexen Wahrscheinlichkeit $P(t)$ als Raumkurve im kathesischen Koordinatensystem. Die X-Achse bildet den reellen Anteil $P_{\text{real}}(t)$ ab, die Y-Achse den imaginären Anteil $P_{\text{imag}}(t)$, und die Z-Achse steht für den Zeitverlauf $t$. Je nach Wert des Interdependenzoperators $H$ entstehen geometrisch eindeutig unterscheidbare Verläufe. spiralförmige, oszillierende oder chaotisch oszillierende Kurven, deren Struktur sich unmittelbar aus der Wechselwirkung von reellem und imaginärem Anteil ergibt. Die Kurvenform ist dabei keine ästhetische Zufälligkeit, sondern eine direkte Konsequenz aus der dynamischen Gleichung: $ P(t) = e^{-iHt} \cdot P(0) \tag{4} $ Diese Gleichung beschreibt die unitäre Transformation eines komplexen Zustands über die Zeit. Die dabei entstehenden Schleifenstrukturen sind mathematisch unvermeidlich, sobald $H \ne 0$ gesetzt wird. Bei $H = 0$ zerfällt die Schleife in einen linearen Verlauf – die Systemdynamik kommt zum Stillstand, da keine Rückführung stattfindet. Mit wachsendem $H$ intensivieren sich Oszillation und Rückkopplung, was zu komplexeren Verlaufskurven führt. ### 2.6.2 Beobachtete Phänomene im Schleifenverhalten Die Analyse der simulierten [Systemischen Schleifen](https://public.jochen-hanisch.de/plot/systemische-schleifen.html) offenbart eine Vielzahl charakteristischer Phänomene, die die zuvor entwickelten theoretischen Annahmen der Systemischen Wahrscheinlichkeitstheorie nicht nur unterstützen, sondern diese auch visuell und dynamisch erfahrbar machen. Die beobachteten Schleifenverläufe resultieren aus der Variation des Interdependenzoperators $H$ über den Zeitverlauf $t$ und liefern konkrete Hinweise auf das Verhalten komplexer Wahrscheinlichkeiten in dynamischen Systemen. Ein zentrales Ergebnis der Simulationen ist die Feststellung, dass die Schleifenstruktur nicht als Ausnahme, sondern als systemischer Regelfall auftritt. Bereits geringe Werte von $H > 0$ führen zu spiralförmigen Bahnen im komplexen Raum, in dem die Zeitachse ($t$) als dritte Dimension gelesen wird. Diese Spiralen entstehen stets um eine gedachte imaginäre Achse, was zeigt. Die Schleife ist keine zufällige Folge spezieller Anfangsbedingungen oder Parametrisierungen, sondern die direkte Konsequenz der dynamischen Kopplung von Reellem und Imaginärem. Sie bildet sich zwingend aus der Struktur der Gleichung selbst, insbesondere durch die Kopplung von $P_{\text{real}}(t)$ und $P_{\text{imag}}(t)$ über die Funktion $e^{-iHt}$. Ein weiteres beobachtbares Phänomen ist die starke Abhängigkeit der Schleifenform vom Wert des Interdependenzoperators $H$. Mit zunehmendem $H$ verändert sich nicht nur die Frequenz der Oszillationen, sondern auch deren Amplituden, deren Phasenverhalten sowie die Stabilität der Gesamtstruktur. Kleine Werte von $H$ erzeugen gleichmäßige, ruhige Schleifenverläufe mit klarer Periodizität. Diese Bewegungsmuster sind robust gegenüber kleinen Störungen und können als strukturell stabil bezeichnet werden – vergleichbar mit kontrollierten Regelkreisen in technischen Systemen. Erhöht man $H$, beginnen die Schleifen, komplexere Bewegungsmuster auszubilden. Die Amplituden wachsen, die Phasen verschieben sich zunehmend gegeneinander, es treten abrupte Richtungswechsel auf. Diese Dynamik erinnert an kognitive oder soziale Systeme, in denen Rückkopplung nicht mehr deterministisch wirkt, sondern dynamisch, unstetig, oft schwer prognostizierbar. Zentral für das Verständnis der Systemischen Wahrscheinlichkeitstheorie ist auch die temporale Struktur der simulierten Schleifen. Diese zeigen kein zyklisches Verhalten im klassischen Sinne einer exakt wiederholbaren Schwingung. Vielmehr handelt es sich um rekursive Zeitstrukturen. Frühere Zustände des Systems tauchen in transformierter Form wieder auf – beeinflusst durch den Verlauf des imaginären Anteils und moduliert durch den jeweiligen Wert von $H$. Die Zeit ist in dieser Perspektive keine unabhängige Variable, sondern eine interdependente Koordinationsgröße, die durch das Zusammenspiel von Re-entry, Rückkopplung und Reflexion selbst geformt wird. Die Spiralstruktur ist Ausdruck dieses nichtlinearen Zeitverständnisses. Besonders auffällig ist die Entstehung stabiler Rekursionsmuster bei mittleren Werten von $H$. In diesen Simulationen zeigt sich, dass die Schleifen über längere Zeiträume hinweg konsistent bleiben, ohne in chaotische oder degenerierte Zustände überzugehen. In systemtheoretischer Interpretation deutet dies auf die Möglichkeit strukturierter Sinnbildung hin. Das System entwickelt Muster, die sowohl auf frühere Zustände Bezug nehmen als auch Raum für gegenwärtige Modulation bieten. Dies entspricht genau jenem Phänomen, das Luhmann mit kommunikativer Rekursivität beschreibt, wenn Sinn als das Medium verstanden wird, in dem soziale Systeme operieren. Der Re-entry-Faktor $\tan(\beta t)$, der später in die Betrachtung eingeführt wurde, liefert eine weitere Dimension zur Beschreibung dieser dynamischen Rückführung. Insgesamt lässt sich sagen, dass die beobachteten Schleifenverläufe nicht nur ein empirisch gestütztes Modell systemischer Dynamik darstellen, sondern auch die theoretischen Kernelemente der Systemischen Wahrscheinlichkeitstheorie – Interdependenz, Rückkopplung, komplexe Wahrscheinlichkeit, nichtlineare Zeit – in anschaulicher Form sichtbar machen. Die Schleife ist kein theoretisches Postulat, sondern eine mathematisch, systemtheoretisch und simulativ bestätigte Struktur systemischer Selbstreferenz. ### 2.6.3 Die Schleife ist nicht Wirkung – sie ist Prozess Ein zentraler Gedanke, der sich im Verlauf der mathematischen Modellierung und insbesondere in der Simulation der Systemischen Wahrscheinlichkeitstheorie herauskristallisierte, betrifft die ontologische Qualität der systemischen Schleife. Diese ist nicht als Wirkung oder Ergebnis eines vorgelagerten Prozesses zu verstehen, sondern als der Prozess selbst – als dynamisches Strukturmuster, in dem Systemzeit, Interdependenz und Rekursivität eine untrennbare Einheit bilden. Die Simulationen zeigen eindrücklich, dass die Schleife nicht als nachträgliches Phänomen auftritt, sondern ist die unmittelbare Manifestation der durch den [[Interdependenzoperator]] $H$ erzeugten Dynamik. In ihr spiegelt sich nicht ein Output auf einen Input, sondern der Rückbezug des Systems auf sich selbst. Wirkung entsteht nicht nachgelagert, sondern im Vollzug der Schleife selbst. Der Prozess ist die Schleife – und die Schleife ist der Raum, in dem Wirkung überhaupt erst möglich wird. Diese Einsicht lässt sich systemtheoretisch als Ausdruck radikaler Selbstbezüglichkeit beschreiben. Das System konstituiert seine eigene Zeitstruktur nicht linear, sondern rekursiv. Jeder neue Zustand trägt Spuren seiner Vergangenheit, transformiert durch die Wirkung von $H$. Die Zeit läuft nicht entlang eines eindimensionalen Strahls, sondern faltet sich ins System zurück – schleift sich gleichsam in das Gedächtnis des Systems ein und erzeugt dort eine innere Form. Genau an dieser Stelle wird die Unterscheidung zwischen trivialen und nicht-trivialen Maschinen nach Heinz von Foerster (1981) formal zugänglich. Triviale Maschinen liefern bei gleicher Eingabe stets denselben Ausgang. Sie sind deterministisch, speicherlos, ohne Selbstbezug. Nicht-triviale Maschinen hingegen verändern sich im Verlauf ihrer eigenen Operation. Sie „lernen“ nicht im Sinne eines externen Inputs, sondern durch den Rückbezug auf eigene Zustände. Diese Unterscheidung erhält im Rahmen der Systemischen Wahrscheinlichkeitstheorie eine präzise mathematische Fassung. Der [[Interdependenzoperator]] $H$ fungiert als Schwellenwert zwischen Trivialität und kybernetischer Lebendigkeit. Wenn $H = 0$, dann entfällt jegliche Rückkopplung. Die komplexe Wahrscheinlichkeit reduziert sich auf ihren reellen Anteil, die Dynamik wird eindimensional und linear. Es gibt keine Oszillation, keine Schleife, kein Gedächtnis. Das System wird zur trivialen Maschine und vollzieht lediglich eine deterministische Vorschrift, ohne die Möglichkeit zur internen Transformation. Sobald $H > 0$ gesetzt wird, beginnt das System, sich selbst zu referenzieren. Reeller und imaginärer Anteil koppeln sich, frühere Zustände wirken in modulierter Form auf zukünftige Zustände zurück. Die Phase der komplexen Zahl wird zum Träger systemischen Gedächtnisses. Die Schleife entsteht als Ausdruck dieser strukturellen Rückkopplung. Das System wird nicht-trivial – es oszilliert, lernt, verändert sich durch sich selbst. Der [[Interdependenzoperator]] $H$ ist dabei nicht nur ein technischer Parameter. Er markiert die epistemologische Grenze zwischen mechanischer Funktion und systemischer Reflexivität. In ihm verdichtet sich die Unterscheidung zwischen Berechnung und Beobachtung, zwischen Wiederholung und Transformation, zwischen Wirkung und Prozess. Diese Differenz lässt sich auch tabellarisch darstellen: | Merkmal | Triviale Maschine ($H = 0$) | Nicht-triviale Maschine ($H > 0$) | | ----------------- | --------------------------- | --------------------------------- | | *Rückkopplung* | keine | vorhanden (durch $H$ vermittelt) | | *Gedächtnis* | nein | ja (Phase speichert Vorzustand) | | *Selbstbezug* | fehlt (Re & Im getrennt) | gegeben (Re & Im gekoppelt) | | *Dynamik* | linear, eindimensional | zyklisch, oszillierend, räumlich | | *Struktur* | Punkt, Linie | Spirale, Schleife | | *Lernfähigkeit* | ausgeschlossen | prinzipiell möglich | | *Komplexität* | gering | emergent, wachsend | | *Autonomie* | rein funktional | reflexiv, kontextsensitiv | _Tabelle 1. Differenzierung Triviale zu Nicht-Trivialer Maschine_ Die systemische Schleife, wie sie im Raum der komplexen Wahrscheinlichkeiten simulativ sichtbar wird, ist nicht das Resultat einer Rechenvorschrift. Sie ist das Auftreten von Sinn im Medium der Rückkopplung. Sie zeigt nicht, was ein System tut, sondern wie es sich im Tun verändert. In dieser Perspektive wird deutlich. Das Kybernetische liegt nicht in der Übertragung von Signalen, sondern in der Modulation der Regel durch sich selbst – in der Regelung der Regel. Der [[Interdependenzoperator]] $H$ erschließt damit eine neue Form systemischer Zeit. nicht sequenziell, sondern re-entrant; nicht linear, sondern rekursiv; nicht extern bestimmt, sondern intern moduliert. Die Schleife ist die Signatur dieser Zeit. Und in ihr zeigt sich. Systemische Komplexität beginnt dort, wo der Output nicht nur von der Eingabe, sondern auch vom Systemzustand abhängt – vermittelt durch $H$, formal sichtbar gemacht durch $e^{-iHt}$, dynamisch erlebbar in der Schleife. ### 2.6.4 Bedeutung für die Theorie Die Integration der Simulation in die Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie eröffnet eine zusätzliche erkenntnistheoretische Dimension. Sie erlaubt es, die zuvor ausschließlich mathematisch und systemtheoretisch hergeleiteten Schleifenstrukturen nicht nur zu denken, sondern im wahrsten Sinne des Wortes zu sehen. Die Möglichkeit, die Dynamik komplexer Wahrscheinlichkeiten als dreidimensionale Bewegung im Raum darzustellen, verschiebt den Status der Theorie von einer rein formalen Konstruktion zu einem visuell erfahrbaren Phänomen. Dabei handelt es sich nicht um eine didaktische Hilfskonstruktion, die lediglich dem Verständnis dient, sondern um eine genuine Erweiterung des Modells – eine zweite Zugangsweise zur Wahrheit der Theorie, die auf unmittelbarer Beobachtung basiert. Diese Beobachtbarkeit ist keineswegs trivial, sondern erfüllt zentrale wissenschaftliche Funktionen. Sie ermöglicht die intersubjektive Nachvollziehbarkeit theoretischer Annahmen. Was zuvor als abstrakte Formel beschrieben wurde, lässt sich nun als konkrete Schleifenbewegung im komplexen Wahrscheinlichkeitsraum erfassen und diskutieren. Die Simulation fungiert hier als epistemisches Werkzeug, das Theorie operationalisiert, ohne sie zu vereinfachen. Sie erlaubt zudem die experimentelle Erprobung verschiedener Systemkonfigurationen. Indem der Wert des Interdependenzoperators $H$ variiert wird, lassen sich unterschiedliche Systemzustände erzeugen, vergleichen und klassifizieren – etwa hinsichtlich ihrer Stabilität, Periodizität oder Komplexität. Darüber hinaus eröffnet die Simulation einen heuristischen Zugang zu bislang unerkannten Phänomenen, etwa dem Übergang zwischen stabilen und chaotischen Schleifen oder der Entstehung emergenter Rückkopplungsmuster bei bestimmten Werten von $H$ und $t$. Diese epistemische Funktion der Simulation bedeutet, dass sie nicht lediglich als Anwendung einer bestehenden Theorie verstanden werden kann. Vielmehr ist sie konstitutiver Bestandteil ihres wissenschaftlichen Begründungszusammenhangs. Die Schleife „lebt“ nicht nur in Formeln, sondern als dynamisches Phänomen, das sich beobachten, analysieren und in Modelle überführen lässt. Ihre Existenz ist nicht bloß eine mathematische Möglichkeit, sondern ein strukturierter Ausdruck systemischer Selbstbezüglichkeit, der sowohl theoretisch als auch visuell fundiert ist. Die Simulation transformiert damit die Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie von einem analytischen System zu einem interaktiven Erkenntnismodell – sie macht die Theorie sichtbar, überprüfbar und erweiterbar. ### 2.6.5 Schleife als strukturelle, dynamische und beobachtbare Realität Die [Systemischen Schleifen](https://public.jochen-hanisch.de/plot/systemische-schleifen.html), wie sie durch die Gleichung (4) und ihre Visualisierung entsteht, ist nicht bloß ein theoretisches Artefakt, sondern eine notwendige Folge der dynamischen Struktur komplexer Wahrscheinlichkeiten unter Wirkung des Interdependenzoperators $H$. Ihre Darstellung durch Simulationen erlaubt die Integration von Theorie und Anschauung – und macht den Übergang von der rein formalen zur praktisch operationalisierbaren Theorie möglich. Die Schleife ist dabei keine bloße Rückkopplung, sondern Ausdruck einer strukturell verankerten, sich selbst transformierenden Dynamik, die über $H$ kontrolliert und durch $t$ temporal entfaltet wird. In Verbindung mit der systemtheoretischen Interpretation, in der die Schleife zugleich als Re-entry-Struktur verstanden wird, ergibt sich ein konsistentes, interdisziplinär anschlussfähiges Bild. Komplexe Systeme – ob lebend, kognitiv oder sozial – zeigen Schleifenverhalten nicht als Ausnahme, sondern als Grundform ihrer zeitlichen Existenz. # 3 Folgerungen Aus der Herleitung der Systemischen Wahrscheinlichkeitstheorie und der zwingenden Schleifenstruktur lassen sich mehrere grundlegende Folgerungen ableiten, die das Verständnis systemischer Prozesse auf einer neuen Ebene ermöglichen. Diese Folgerungen sind direkt aus den mathematischen und systemtheoretischen Überlegungen hergeleitet und bilden den Übergang von der strukturellen Beschreibung zu deren theoretischer Reichweite. Sie stellen die Grundlage für mögliche Implikationen dar, ohne diese bereits zu bewerten oder auf Anwendungen zu projizieren. ### 3.1 Die systemische Wahrscheinlichkeit ist strukturell komplex Die systemische Wahrscheinlichkeit $P(t)$ besteht zwingend aus einem reellen und einem imaginären Anteil. Während der reelle Anteil $P_{\text{real}}(t)$ als beobachtbarer Ausdruck von Systemzuständen verstanden werden kann – etwa als manifeste Handlung, explizites Verhalten oder gemessener Parameter –, beschreibt der imaginäre Anteil $P_{\text{imag}}(t)$ eine nicht direkt beobachtbare, aber strukturwirksame Rückführung. Diese ergibt sich mathematisch als Funktion des Re-entry-Faktors $\tan(\beta t)$ und ist daher strukturell in jedem Systemprozess enthalten. Die Wahrscheinlichkeit selbst ist also nicht eindimensional, sondern notwendigerweise komplex im mathematischen Sinne. Damit ist jede Aussage über „Wahrscheinlichkeit“ in systemischen Kontexten nur vollständig, wenn sie diese Mehrdimensionalität berücksichtigt. ### 3.2 Der Operator $H$ strukturiert die Zeitentwicklung Der [[Interdependenzoperator]] $H$ fungiert als Generator der Zeitentwicklung in der unitären Transformation $P(t) = e^{-i H t} P(0)$. Dies bedeutet, dass $H$ nicht nur für die Geschwindigkeit oder Intensität von Zustandsänderungen verantwortlich ist, sondern die interne Koppelung und Rekursionslogik des Systems beschreibt. Insofern ist $H$ nicht einfach ein Parameter, sondern eine Systembeschreibung. Seine Größe und Struktur determinieren die Form der [Systemischen Schleifen](https://public.jochen-hanisch.de/plot/systemische-schleifen.html). Daraus folgt, dass sich aus dem Verhalten eines Systems – also aus den realen und imaginären Anteilen von $P(t)$ – Rückschlüsse auf die interne Struktur $H$ ziehen lassen. Die Zeit selbst ist keine unabhängige Achse, sondern erhält ihre Funktion nur durch die Wirkung von $H$ im System. ### 3.3 Die systemische Schleife ist mathematisch notwendig Die Schleifenstruktur ergibt sich nicht aus empirischen Beobachtungen oder systemischen Postulaten, sondern direkt aus der mathematischen Struktur der verwendeten Gleichungen. Sie ist damit kein Zusatz oder heuristisches Element, sondern Resultat der komplexwertigen Formulierung und der Wirkung des Operators $H$. Insbesondere wird die Schleife durch die Rückkopplung zwischen $P_{\text{real}}(t)$ und $P_{\text{imag}}(t)$ erzeugt, wobei letzterer durch $\tan(\beta t)$ moduliert ist. Diese Beziehung erzeugt eine rotierende, oszillierende Bewegung, die sich als Spiralstruktur im kathesischen Koordinatensystem zeigt. Daraus folgt, dass rekursive Schleifen nicht optional, sondern konstitutiv für jede Entwicklung innerhalb dieser Theorie sind. ### 3.4 Rückkopplung ist keine Option, sondern Bedingung In klassischen systemtheoretischen oder kybernetischen Modellen wird Rückkopplung häufig als mögliche Eigenschaft von Systemen modelliert. Innerhalb der Systemischen Wahrscheinlichkeitstheorie hingegen ist Rückkopplung eine strukturelle Notwendigkeit. Sie entsteht aus dem Zusammenspiel von reellem und imaginärem Anteil, vermittelt über $H$, und zeigt sich mathematisch zwingend in der zyklischen Bewegung der Zustände. Rückkopplung ist daher nicht als Sonderform oder Spezifikum bestimmter Systeme zu verstehen, sondern als Grundbedingung dynamischer, selbstbezüglicher Zeitstruktur in komplexen Systemen. ### 3.5 Sinnbildung ist formal abbildbar Die Schleifenstruktur erzeugt nicht nur eine mathematisch beschreibbare Dynamik, sondern bildet zugleich die strukturelle Grundlage für Sinnbildung im systemtheoretischen Sinne. Durch Re-entry – die Rückführung transformierter Systemzustände in die laufende Operation – entsteht eine systeminterne Logik, die als Kontinuität von Bedeutung interpretiert werden kann. Diese Form von Sinn ist nicht extern zugefügt, sondern emergiert aus der rekursiven Selbstverarbeitung des Systems. Die Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie stellt somit ein Modell bereit, in dem Sinnbildung nicht metaphorisch, sondern mathematisch formal beschrieben werden kann. ### 3.6 Stabilität entsteht aus Oszillation, nicht aus Gleichgewicht In klassischen mechanistischen Modellen wird Stabilität häufig durch Gleichgewichtszustände definiert. In der Systemischen Wahrscheinlichkeitstheorie hingegen ergibt sich Stabilität nicht durch das Erreichen eines statischen Endpunkts, sondern durch die kontinuierliche Reaktualisierung systemischer Zustände in einer oszillierenden Schleife. Die Norm von $P(t)$ bleibt dabei erhalten – dies ist das mathematische Korrelat systemischer Stabilität. Diese Form der Stabilität ist dynamisch, nicht statisch, und beruht auf der Balance zwischen Re-entry und struktureller Interdependenz. Das System bleibt stabil, weil es sich rekursiv verändert. ### 3.7 Emergenz ist in der Struktur enthalten Schließlich ergibt sich aus der komplexen Struktur der Wahrscheinlichkeitsentwicklung auch eine formale Beschreibungsmöglichkeit für emergente Phänomene. Da jeder Zustand $P(t)$ das Ergebnis der Transformation eines vorherigen Zustands unter Wirkung von $H$ ist, können nichtlineare Effekte auftreten, die nicht aus der Addition einzelner Komponenten erklärbar sind. Der imaginäre Anteil erzeugt dabei neue Bedeutungs- oder Wirkungsebenen, die in der ursprünglichen Ausgangslage nicht enthalten waren. Damit wird Emergenz nicht als unbestimmte Restgröße, sondern als explizit beschreibbare Struktur innerhalb rekursiver Systeme modellierbar. # 4 Implikationen Die zuvor hergeleiteten Folgerungen aus der Systemischen Wahrscheinlichkeitstheorie entfalten weitreichende Implikationen für Wissenschaft, Praxis und Theoriebildung. Sie beschränken sich nicht auf eine rein mathematische oder systemtheoretische Perspektive, sondern wirken in verschiedene Disziplinen und Anwendungsfelder hinein. Die nachfolgenden Implikationen ergeben sich aus der strukturellen Logik der Theorie, nicht aus spekulativer Übertragung. Sie sind als mögliche Anschlussstellen und Erweiterungsräume zu verstehen, in denen die Theorie fruchtbar gemacht werden kann. ### 4.1 Neue Fundierung probabilistischer Systemtheorie Die Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie liefert eine strukturierte, formal konsistente Erweiterung bestehender systemtheoretischer Modelle. Während klassische Theorien wie die Autopoiesis (Maturana & Varela) oder die Kommunikationstheorie (Luhmann) systemische Prozesse durch zyklische Strukturen und Selbstreferenz beschreiben, ermöglicht die vorliegende Theorie erstmals eine mathematische Beschreibung dieser Rückkopplungen über komplexe Wahrscheinlichkeiten. Dabei wird deutlich, dass die systemische Schleife ist nicht metaphorisch, sondern formallogisch notwendig ist. Dies erlaubt eine Neukonzeption systemischer Theorie, in der Kommunikation, Lernen, soziale Dynamik und Stabilität als Ausdruck probabilistischer Schleifenprozesse modelliert werden können. ### 4.2 Mathematisierung von Sinnbildungsprozessen Bisherige Modelle der Sinnbildung basierten zumeist auf sprachlichen, kulturellen oder semiotischen Beschreibungen. Mit der Systemischen Wahrscheinlichkeitstheorie wird Sinn als rekursives, mathematisch erfassbares Phänomen verständlich. Der Imaginäranteil der Wahrscheinlichkeit beschreibt systemintern rückgeführte Potenziale, die durch $H$ moduliert werden. In der Schleifenstruktur zeigt sich, dass Sinn nicht gegeben ist, sondern entsteht – und zwar als mathematisch rekonstruierbare Folge interner Wahrscheinlichkeitsmodulation. Dies ermöglicht die komplexen Kommunikations- oder Entscheidungsprozesse in sozialen, psychischen und lebenden Systemen erstmals formal zu beschreiben, ohne auf inhaltliche Interpretation angewiesen zu sein. ### 4.3 Operationalisierung für Simulations- und Entscheidungssysteme Die Theorie erlaubt, komplexe Systeme simulationsfähig zu machen, indem sie eine formale Beschreibung ihrer Dynamik bereitstellt. Die Gleichungssysteme (insb. Gleichung (4) und (7)) können numerisch umgesetzt werden. Damit entsteht die Möglichkeit, rekursive, rückkopplungsbasierte Prozesse in lebenden, psychischen oder sozialen Systemen zu simulieren, ohne diese deterministisch oder linear beschreiben zu müssen. Dies ist insbesondere relevant für die Modellierung von Unsicherheiten, nichtlinearen Entscheidungsprozessen oder resilienten Systemen. Die Theorie bietet damit nicht nur deskriptiven, sondern auch prädiktiven und konstruktiven Nutzen. ### 4.4 Transdisziplinäre Anschlussfähigkeit Da die Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie auf der strukturellen Kopplung von Zeit, Interdependenz und Wahrscheinlichkeit basiert, ist sie **nicht disziplinspezifisch** gebunden. Ihre Begriffe sind mathematisch fundiert und systemtheoretisch verankert. Dadurch ist sie anschlussfähig an verschiedenste Disziplinen: - In der **Physik** knüpft sie an die Quantenmechanik an (unitäre Transformation, komplexe Zustände). - In der **Kognitionswissenschaft** erlaubt sie die Modellierung innerer Prozesse als Rückkopplungsstruktur. - In der **Soziologie** lässt sich Kommunikation als emergente, probabilistische Struktur rekonstruieren. - In der **Pädagogik** können Lernprozesse als rekursive Wahrscheinlichkeitsveränderungen modelliert werden. - In der **KI-Forschung** ermöglicht sie eine Reflexion darüber, wie Wahrscheinlichkeiten und Rückkopplung maschinell abgebildet werden können – etwa in Large Language Models. Diese Anschlussfähigkeit ergibt sich nicht durch Übertrag, sondern durch die grundsätzliche Struktur der Theorie. ### 4.5 Integration von Zeit als systeminterne Variable Ein zentrales theoretisches Problem vieler Modelle liegt in der Behandlung der Zeit. Entweder wird sie als exogene Variable vorausgesetzt, oder sie bleibt unbestimmt. Die Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie zeigt, dass Zeit als strukturierte, rekursive Variable innerhalb des Systems modelliert werden kann. Sie ist nicht linear oder absolut, sondern entsteht durch die Transformation unter Wirkung von $H$. Dadurch wird eine prozessuale, relationale Zeitstruktur beschreibbar, wie sie in lebenden oder sozialen Systemen tatsächlich beobachtbar ist. Dies eröffnet neue Wege für die Beschreibung von Entwicklung, Lernen, Veränderung und Emergenz über Zeit hinweg. ### 4.6 Neue Perspektiven auf Stabilität, Wandel und Emergenz Die Theorie beschreibt Stabilität nicht als statischen Zustand, sondern als resultierende Norm innerhalb oszillierender Rückkopplung. Dies erlaubt ein dynamisches Verständnis von Systemgleichgewicht, das Veränderung nicht ausschließt, sondern voraussetzt. Systeme sind stabil, wenn sie in der Lage sind, ihre Schleifenstruktur unter wechselnden Parametern aufrechtzuerhalten. Wandel wird nicht als Ausnahme, sondern als Modulation der Schleife verstanden. Emergenz tritt dort auf, wo neue Konfigurationen von $H$ oder $P(0)$ zu qualitativ veränderten Schleifenstrukturen führen. Damit ist die Theorie in der Lage, sowohl Stabilität als auch Transformation kohärent zu beschreiben. ### 4.7 Theoriegeleitete Grundlage für empirische Forschung Obwohl die Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie aus theoretischer Reflexion hervorgegangen ist, ermöglicht sie konkrete Operationalisierungen für empirische Studien. Wahrscheinlichkeitsverläufe lassen sich simulieren, modellieren und in Vergleich zu realen Daten setzen. Die Struktur des Modells erlaubt, Hypothesen über Schleifenverhalten, Rückkopplungsintensität, Sinnbildung oder Stabilität systematisch zu entwickeln und empirisch zu überprüfen. Damit ist die Theorie kein spekulatives Konstrukt, sondern stellt eine strukturierte Grundlage für quantitative, qualitative und simulationsbasierte Forschung dar. ### 4.8 Potenzielle ethische und gesellschaftliche Relevanz Die Einführung einer Theorie, die probabilistische Dynamik systemisch erklärt, hat auch ethische Implikationen. Wenn Sinn, Stabilität oder Entscheidungsdynamik als Schleifenprozesse modellierbar sind, stellt sich die Frage nach Steuerung, Eingriff und Manipulation. Wer die Struktur von $H$ verändern kann, beeinflusst die systemische Dynamik. Die Theorie zwingt daher zur Reflexion über die Verantwortung im Umgang mit komplexen Systemen – etwa in Bildung, Organisation, Technologie oder Gesellschaft. Sie macht die Grenzen und Möglichkeiten systemischer Gestaltung sichtbar und verlangt nach einer bewussten Auseinandersetzung mit rekursiven Prozessen. # 5 Kritik Die Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie wurde aus einer theoretischen Reflexion über die Grenzen klassischer Wahrscheinlichkeitstheorie in komplexen, rekursiven Systemen entwickelt. Sie formuliert einen mathematisch fundierten Zugang zur Beschreibung systemischer Dynamiken unter Einbeziehung komplexer Zahlen, oszillierender Rückkopplungen und strukturierter Zeitentwicklung. Dennoch ist eine kritische Prüfung erforderlich, die sowohl die theoretische Fundierung als auch die Anschlussfähigkeit an bestehende Forschungsdiskurse und Anwendungsperspektiven hinterfragt. Diese Kritik erfolgt im Sinne einer erkenntnistheoretischen Tiefenschärfung und bezieht sich auf logische, mathematische, theoretische und pragmatische Aspekte der bisherigen Herleitung. Die Kritik erhebt nicht den Anspruch, die Theorie zu widerlegen, sondern dient der methodischen Ausleuchtung und möglichen Weiterentwicklung. Ein wesentlicher Kritikpunkt betrifft die fehlende empirische Fundierung. Die bisherige Entwicklung der Theorie erfolgte vollständig im Rahmen der abstrakt-theoretischen Grundlagenforschung, das heißt ohne Rückgriff auf empirisch beobachtbare Daten oder experimentelle Validierung. Insofern bleibt bislang offen, ob sich reale dynamische Prozesse – beispielsweise in lebenden, psychischen oder sozialen Systemen – tatsächlich in der mathematisch beschriebenen Schleifenstruktur wiederfinden. Die formal abgeleiteten Funktionen und Operatoren sind logisch konsistent, doch besteht die Gefahr, dass sich deren Geltung auf ein idealisiertes Systemmodell beschränkt. Um die Theorie über die mathematische Eleganz hinaus anschlussfähig zu machen, bedarf es künftig einer expliziten Reflexion möglicher empirischer Operationalisierungen, wobei jedoch die grundlagenorientierte Ausrichtung der Theorie ausdrücklich nicht in Frage gestellt werden soll. Die Behandlung von Zeit innerhalb der Theorie erfolgt in Form einer kontinuierlichen, mathematisch idealisierten Zeitvariable $t$. Diese Darstellung ist innerhalb des formal-mathematischen Rahmens schlüssig, doch spiegelt sie nur eingeschränkt die zeitlichen Eigenschaften realer Prozesse wider. In vielen natürlichen oder sozialen Systemen manifestiert sich Zeit nicht als gleichmäßig fortschreitende Variable, sondern in Form diskontinuierlicher, sprunghafter oder sogar rückgekoppelter Ereignisfolgen. Das verwendete Modell mit kontinuierlicher Zeitentwicklung bleibt hier an einer idealisierenden Darstellung orientiert. Eine Erweiterung der Theorie um diskrete oder hybride Zeitmodelle erscheint daher perspektivisch notwendig, etwa durch Anwendung stochastischer Differentialgleichungen, diskreter Iterationsschritte oder der Kombination von Ereigniszeit und Prozesszeit. Ein weiterer kritischer Punkt betrifft die Identifikation des Interdependenzoperators $H$ mit dem Konzept der Kommunikation. Zwar wurde in systemtheoretischer Tradition – insbesondere bei Niklas Luhmann – Kommunikation als Grundoperation sozialer Systeme beschrieben, doch bleibt unklar, wie sich diese komplexe soziale Operation in einem formalen Operator konsistent abbilden lässt. Die Theorie postuliert, dass Kommunikation die Form der Interdependenz beschreibt, welche die rekursive Struktur innerhalb eines Systems erzeugt und erhält. Diese Annahme ist theoretisch anschlussfähig, jedoch mathematisch bislang nur über den Einfluss von $H$ auf die komplexe Wahrscheinlichkeitsfunktion beschrieben. Eine weiterführende Kritik bezieht sich auf die Frage, ob sich Kommunikation in einer eindimensionalen Größe darstellen lässt oder ob eine differenziertere, multidimensionale Modellierung – etwa durch Tensoren höherer Ordnung – erforderlich ist, um der Komplexität von Kommunikation gerecht zu werden. Die Ableitung des Imaginärteils der Systemischen Wahrscheinlichkeit als Produkt aus $\tan(\beta t)$ und dem reellen Wahrscheinlichkeitsanteil wirft ebenfalls kritische Fragen auf. Die mathematische Struktur ist eindeutig, doch bleibt die Bedeutung dieses Imaginäranteils im konkreten Anwendungskontext schwer fassbar. Im Unterschied zu klassischen Wahrscheinlichkeiten, die durch empirische Häufigkeit oder subjektive Erwartung quantifiziert werden können, repräsentiert der Imaginärteil eine innere Rückkopplung des Systems – etwa als Re-entry-Struktur oder als Potenzial zukünftiger Zustandsveränderung. Diese Interpretation ist theoretisch plausibel, jedoch in der Praxis bislang nicht operationalisiert. Eine kritische Herausforderung besteht daher in der Entwicklung geeigneter Indikatoren, mit denen imaginäre Wahrscheinlichkeitskomponenten in realen Prozessen qualitativ oder quantitativ erfasst werden könnten. Ein weiterer Aspekt betrifft die potenzielle Gefahr zirkulärer Begründungsstrukturen. Die Theorie beschreibt Rückkopplung als Schleifenprozess, in dem der aktuelle Zustand durch den vorhergehenden Zustand beeinflusst wird, wobei diese Veränderung wiederum als Ausgangspunkt für den nächsten Zyklus dient. Diese Struktur ist mathematisch stringent, birgt aber das Risiko, als Tautologie interpretiert zu werden. Wenn der gegenwärtige Zustand ausschließlich aus dem vorherigen Zustand hervorgeht, ohne dass externe Impulse oder Kontextvariablen berücksichtigt werden, könnte dies zu einem geschlossenen, selbstreferenziellen System führen, das gegen empirische Falsifikation immun ist. Die Theorie begegnet diesem Risiko durch die Offenheit der Anfangsbedingung $P(0)$ sowie durch die variierbare Struktur von $H$, die systeminterne wie systemexterne Einflussgrößen integrieren kann. Dennoch bleibt eine genaue Unterscheidung zwischen interner Rekursion und externer Störung konzeptionell und methodisch notwendig. Schließlich stellt die Komplexität der mathematischen Darstellung eine Herausforderung für die interdisziplinäre Anschlussfähigkeit der Theorie dar. Die Verwendung komplexer Zahlen, trigonometrischer Funktionen, unitärer Operatoren und zeitabhängiger Interdependenzparameter ist für viele Disziplinen außerhalb der Mathematik, Physik oder Systemtheorie ungewohnt und potenziell abschreckend. Die theoretische Tiefe der Systemischen Wahrscheinlichkeitstheorie droht dadurch in ihrer Reichweite beschränkt zu bleiben, obwohl sie inhaltlich vielfältige Anschlussstellen bietet. Der Zugang zu zentralen Begriffen wie Schleifenstruktur, Rückkopplung, Re-entry oder Sinnbildung könnte durch begleitende narrative oder visuelle Darstellungen erleichtert werden. Darüber hinaus ist eine verstärkte semantische Vermittlung notwendig, die zentrale Formeln und Operatoren in verständliche systemtheoretische Begrifflichkeiten übersetzt, ohne die formale Konsistenz zu gefährden. Die bisherigen Kritikpunkte zeigen, dass die Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie als theoretischer Entwurf konsistent, formal tragfähig und anschlussfähig ist – zugleich aber in zentralen Punkten weiterentwickelt werden muss. Diese Weiterentwicklung betrifft nicht die Grundlagenlogik, sondern die methodische Erweiterung, die pragmatische Operationalisierung und die interdisziplinäre Anschlussfähigkeit. Die bisherige Formulierung der Theorie stellt einen ersten Beitrag in der abstrakt-theoretischen Grundlagenforschung dar, der in nachfolgenden Schritten empirisch, konzeptionell und anwendungsbezogen vertieft werden kann. # 6 Zusammenfassung Die Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie (Systemischen Wahrscheinlichkeitstheorie) wurde als abstrakt-theoretischer Beitrag zur systemischen Grundlagenforschung entwickelt. Sie basiert auf der Annahme, dass Wahrscheinlichkeiten in lebenden, psychischen und sozialen Systemen nicht ausschließlich als reelle Werte im Intervall $[-1, 1]$ beschrieben werden können, sondern zusätzlich eine imaginäre Komponente besitzen, die Rückkopplung, Re-entry und rekursive Dynamik mathematisch abbildet. Ausgangspunkt war die Frage nach der Beschreibbarkeit von [[Wirkungswahrscheinlichkeit]] jenseits deterministischer oder rein stochastischer Konzepte. Inspiriert durch die Verwendung komplexer Zahlen in der Quantenmechanik wurde untersucht, inwieweit sich diese Struktur auf systemische Prozesse übertragen lässt. Durch die Einführung des Interdependenzoperators $H$ als systemimmanente Strukturgröße konnte eine gekoppelte Wahrscheinlichkeitsfunktion hergeleitet werden, die formal mit der unitären Transformation der Quantenmechanik identisch ist. Die resultierende Schleifenstruktur ergibt sich zwingend aus den mathematischen Gleichungen und beschreibt eine oszillierende Dynamik im Raum komplexer Wahrscheinlichkeiten. Im Rahmen der Herleitung zeigte sich, dass der reelle Anteil der Wahrscheinlichkeit als beobachtbarer Zustand beschrieben werden kann, während der imaginäre Anteil die Potenzialität zukünftiger Zustände sowie deren Rückwirkung auf den aktuellen Zustand kodiert. Die systemische Zeitstruktur ergibt sich dabei nicht linear, sondern als Schleife, in der frühere Zustände transformiert in gegenwärtige Prozesse einwirken. Der Imaginärteil wird über eine $\tan$-Funktion modelliert, welche die oszillierende Rückkopplung als Funktion eines Re-entry-Winkels $\beta$ beschreibt. Die Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie führt somit zu einer radikalen Umformulierung klassischer Wahrscheinlichkeitskonzepte. Wahrscheinlichkeiten sind nicht mehr singuläre Punktwerte oder nur noch reine [[Wirkungswahrscheinlichkeit]], sondern komplexe Zustandsräume, in denen das Zusammenspiel von Realität und Möglichkeit mathematisch explizit wird. Diese Struktur ermöglicht nicht nur eine präzisere Beschreibung von Rekursion, Dynamik und emergenten Effekten, sondern bildet auch eine theoretische Brücke zwischen physikalischen, biologischen, psychischen und sozialen Prozessen. Die systemtheoretische Verortung der Theorie zeigt, dass $H$ als Maß systemischer Interdependenz interpretiert werden kann – insbesondere als Maß für Kommunikation im Sinne der Luhmannschen Systemtheorie. Damit schließt die Theorie eine Lücke zwischen formaler Mathematik und systemischer Theoriearbeit. Die rekursive Dynamik der Wahrscheinlichkeitsentwicklung stellt nicht nur ein Abbild autopoietischer Schleifenprozesse dar, sondern liefert auch eine potenziell universelle Struktur zur Beschreibung lebender, lernender oder sozialer Systeme. Die [Systemischen Schleifen](https://public.jochen-hanisch.de/plot/systemische-schleifen.html) zeigen exemplarisch die Schleifendynamik bei verschiedenen $H$-Werten. Sie verdeutlicht, dass mit zunehmender Interdependenz die Oszillation zwischen reellem und imaginärem Anteil zunimmt, was zu komplexeren und instabileren Rekursionsstrukturen führt. Die Theorie kann somit nicht nur unterschiedliche Systemarten differenzieren, sondern liefert auch eine erste Grundlage zur Typologie systemischer Dynamiken. Die Folgerungen der Theorie betreffen sowohl die Beschreibung von Sinnbildungsprozessen als auch die formale Integration zeitabhängiger Rückkopplung in probabilistische Modelle. Die Implikationen reichen von der möglichen Erweiterung quantenlogischer Prinzipien auf soziodynamische Systeme bis hin zu einer neuen Verständnisebene von Kommunikation, Lernen und emergenten Prozessen. Die formulierte Kritik zeigt, dass die Theorie in ihrer derzeitigen Form primär grundlagentheoretisch tragfähig ist, jedoch weiterentwickelt werden muss – insbesondere im Hinblick auf empirische Operationalisierbarkeit, interdisziplinäre Anschlussfähigkeit und differenzierte Modellierung von Zeit und Kommunikation. Gleichwohl bietet sie eine konsistente, logisch hergeleitete und theoretisch anschlussfähige Struktur, die als Ausgangspunkt für weiterführende Forschung dienen kann. Die Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie stellt damit ein systemisch fundiertes, mathematisch formalisiertes Konzept dar, das die Beschreibung rekursiver Prozesse im Raum der Wahrscheinlichkeiten erlaubt und neue Perspektiven für die Modellierung komplexer, nicht-linearer Systeme eröffnet. # Quelle(n) - Dirac, P. A. M. (1958). *The Principles of Quantum Mechanics* (4th ed.). Oxford University Press. - Luhmann, N. (1984). *Soziale Systeme. Grundriß einer allgemeinen Theorie*. Frankfurt am Main. Suhrkamp. - Maturana, H. R., & Varela, F. J. (1987). *Der Baum der Erkenntnis. Die biologischen Wurzeln des menschlichen Erkennens*. Bern. Scherz. - OpenAI, & Hanisch, J. (2025, März 31). *Systemische Wahrscheinlichkeitstheorie* [GPT-4o]. - Reed, M., & Simon, B. (1975). *Methods of Modern Mathematical Physics. Vol. 2. Fourier Analysis, Self-Adjointness*. Academic Press. - Sakurai, J. J., & Napolitano, J. (2017). *Modern Quantum Mechanics* (2nd ed.). Cambridge University Press. - Stein, E. M., & Shakarchi, R. (2003). *Complex Analysis*. Princeton University Press. - Varela, F. J., Thompson, E., & Rosch, E. (1991). *The Embodied Mind. Cognitive Science and Human Experience*. MIT Press. --- #Wirkungswahrscheinlichkeit #Elementarkommunikation #Emergenz #Feedback #Interdependenzoperator #Komplexität #Kybernetik #MathematischeModellierung #Maschine #Quantentheorie #ReEntry #Reflexion #Schleifenstruktur #Simulation #Systemtheorie #UnitäreTransformation #Wirkungswahrscheinlichkeit #Zeitstruktur